Question

2．如圖所示，已知四邊形ABCD是圓柱的軸截面，M是下底面圓周上不與點A，B重合的點．
（1）求證：平面DMB⊥平面DAM；
（2）若△AMB是等腰三角形，求該圓柱與三棱錐D-AMB體積的比值．

Answer 1

分析 （1）由DA⊥平面AMB可得DA⊥BM，由圓的性質(zhì)得BM⊥AM，于是BM⊥平面DAM，從而平面DMB⊥平面DAM；
（2）設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，分別計算圓柱和棱錐的體積得出體積比．

解答 證明：（1）∵DA⊥平面AMB，BM?平面AMB，
∴DA⊥BM，
∵M是底面圓周上的點，∴BM⊥AM．
又DA?DAM，AM?平面DAM，DA∩AM=A，
∴BM⊥平面DAM，又BM?平面DMB，
∴平面DMB⊥平面DAM．
（2）設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，
則V_圓柱=πr²h，
若△AMB是等腰三角形，則S_△ABM=$\frac{1}{2}×2r×r$=r²．
∴V_棱錐D-AMB=$\frac{1}{3}{S}_{△ABM}•h$=$\frac{1}{3}×{r}^{2}×h$=$\frac{{r}^{2}h}{3}$．
∴$\frac{{V}_{圓柱}}{{V}_{棱錐D-AMB}}$=3π．

點評 本題考查了面面垂直的判定，幾何體的體積計算，屬于中檔題．