Question

2．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸）中，曲線C₂的方程為ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），曲線C₁、C₂交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若p=2且定點(diǎn)P（0，-4），求|PA|+|PB|的值；
（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，求p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₂的方程為ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ²sin²θ=2pρcosθ（p＞0），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．將曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與拋物線方程聯(lián)立得：${t}^{2}-12\sqrt{2}$t+32=0，可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．
（Ⅱ）將曲線C₁的參數(shù)方程與y²=2px聯(lián)立得：t²-2$\sqrt{2}$（4+p）t+32=0，又|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，可得|AB|²=|PA||PB|，可得$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}$=|t₁||t₂|，即$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$=5t₁t₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₂的方程為ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ²sin²θ=2pρcosθ（p＞0），
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為y²=2px，p＞2．
又已知p=2，∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．
將曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與y²=4x聯(lián)立得：${t}^{2}-12\sqrt{2}$t+32=0，
由于△=$（-12\sqrt{2}）^{2}$-4×32＞0，
設(shè)方程兩根為t₁，t₂，
∴t₁+t₂=12$\sqrt{2}$，t₁•t₂=32，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=12$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）將曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與y²=2px聯(lián)立得：t²-2$\sqrt{2}$（4+p）t+32=0，
由于△=$[-2\sqrt{2}（4+p）]^{2}$-4×32=8（p²+8p）＞0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（4+p），t₁•t₂=32，
又|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列，
∴|AB|²=|PA||PB，
∴$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}$=|t₁||t₂|，
∴$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$=5t₁t₂，
∴$[-2\sqrt{2}（4+p）]^{2}$=5×32，
∴p²+8p-4=0，解得：p=-4$±2\sqrt{5}$，
又p＞0，
∴p=-4+2$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)|PA|，|AB|，|PB|成等比數(shù)列時(shí)，p的值為-4+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、弦長(zhǎng)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．