Question

已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于5。過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M，
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線(xiàn)AK與圓M的位置關(guān)系。

Answer 1

解：（1）拋物線(xiàn)y²=2px的準(zhǔn)線(xiàn)為，
于是，
∴p=2，
∴拋物線(xiàn)方程為y²=4x；
（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4），
由題意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），
∴，
∴，
則FA的方程為y=（x-1），MN的方程為，
解方程組，
∴；
（3）由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)（0，2），半徑為2，
當(dāng)m=4時(shí)，直線(xiàn)AK的方程為x=4，此時(shí)，直線(xiàn)AK與圓M相離；
當(dāng)m≠4時(shí)，直線(xiàn)AK的方程為，即為，
圓心M（0，2）到直線(xiàn)AK的距離，
令d＞2，解得m＞1；
∴當(dāng)m＞1時(shí)，直線(xiàn)AK與圓M相離；當(dāng)m=1時(shí)，直線(xiàn)AK與圓M相切；當(dāng)m＜1時(shí)，直線(xiàn)AK與圓M相交。