Question

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設函數(shù)f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值為g（t），求g（t）的表達式．

Answer 1

解：（1）f（x）是二次函數(shù)，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可設f（x）=ax（x-5）（a＞0），
可得在區(qū)間f（x）在區(qū)間[-1，]上函數(shù)是減函數(shù)，區(qū)間[，4]上函數(shù)是增函數(shù)
∵f（-1）=6a，f（4）=-4a，f（-1）＞f（4）
∴f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a=12，得a=2．
因此，函數(shù)的表達式為f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．
（2）由（1）得f（x）=2（x-）²-，函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸為x=
①當t+1時，即t時，f（x）在[t，t+1]上單調遞減，
此時f（x）的最小值g（t）=f（t+1）=2（t+1）²-10（t+1）=2t²-6t-8；
②當t時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，
此時f（x）的最小值g（t）=f（t）=2t²-10t；
③當＜t＜時，函數(shù)y=f（x）在對稱軸處取得最小值
此時，g（t）=f（）=-
綜上所述，得g（t）的表達式為：g（t）=
分析：（1）根據(jù)題意，設f（x）=ax（x-5）（a＞0），可得函數(shù)圖象的對稱軸x=，恰好位于區(qū)間[-1，4]，得f（x）的最大值是f（-1）=6a=12，得a=2，可得函f（x）數(shù)的表達式；
（2）分t+1時、t時和＜t＜時三種情況，分別討論函數(shù)的單調性，可得相應情況下函數(shù)的最小值，最后綜合可得g（t）的表達式．
點評：本題給出一元二次不等式的解集，求二次函數(shù)的表達式并求它在閉區(qū)間上的最小值，著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質、不等式的解法等知識，屬于中檔題．