Question

已知直線(xiàn)y=x-4與f（x）=log_a（-x）和g（x）=a^-x（a＞1）的圖象分別交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先做出函數(shù)f（x）=log_a（-x）和g（x）=a^-x（a＞1）的圖象，由互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象性質(zhì)可知，它們關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)，而直線(xiàn)y=x-4垂直于直線(xiàn)y=-x，則直線(xiàn)y=x-4與兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)A，B關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)，也就是關(guān)于兩直線(xiàn)的交點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，只需求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果．

解答： 解：∵函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=log_ax（a＞1）互為反函數(shù)，
∴它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
將分別作出函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=log_ax（a＞1）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象，
則得到f（x）=log_a（-x）和g（x）=a^-x（a＞1）的圖象，且它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)，
而直線(xiàn)y=x-4垂直于直線(xiàn)y=-x，
∴f（x）=log_a（-x）和g（x）=a^-x（a＞1）的圖象與直線(xiàn)y=x-4的交點(diǎn)A、B也關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)，
即A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x-4與y=-x的交點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，∴P是A、B的中點(diǎn)，
又由

y=-x y=x-4

得交點(diǎn)為P（2，-2），
∴x₁+x₂=4．
故答案為4

點(diǎn)評(píng)：這道題考查了同底數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的圖象性質(zhì)，圖象的對(duì)稱(chēng)變換等知識(shí)，以及利用數(shù)形結(jié)合的思想解題的能力．