Question

已知曲線E上的點(diǎn)到直線y=-2的距離比到點(diǎn)F（0，1）的距離大1．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過M（1，4）作曲線E的弦AB，使弦AB以M為中點(diǎn)，求弦AB所在直線的方程；
（3）若直線1：y=x+b與曲線E相切于點(diǎn)P，求以點(diǎn)P為圓心，且與曲線E的準(zhǔn)線相切的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）由題意知，曲線E上的點(diǎn)到直線y=-1的距離與到點(diǎn)F（0，1）的距離相等，從而寫出拋物線方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x 2 1 =4y1 x 2 2 =4y2

及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得kAB=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，從而寫出直線方程；
（3）設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），從而用導(dǎo)數(shù)求斜率，從而求點(diǎn)P，再寫圓的方程．

解答： 解（1）∵曲線E上的點(diǎn)到直線y=-2的距離比到點(diǎn)F（0，1）的距離大1，
∴曲線E上的點(diǎn)到直線y=-1的距離與到點(diǎn)F（0，1）的距離相等；
故曲線E為拋物線，焦點(diǎn)為點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線為y=-1；
故方程為：x²=4y；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x 2 1 =4y1 x 2 2 =4y2

及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得kAB=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
所以直線AB的方程為y-4=

1

2

(x-1)，
即x-2y+7=0；
（3）設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），
由y=

x2

4

得y′=

x

2

，
所以

x0

2

=1，x0=2，
即點(diǎn)P（2，1），圓P的半徑為2，
所以圓P的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的應(yīng)用，同時(shí)考查了拋物線的定義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．