分析 (Ⅰ)連接RF,PF,利用等角的余角相等,證明∠PRA=∠PQF,即可證明AR∥FQ;
(Ⅱ)利用△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求出N的坐標(biāo),利用點(diǎn)差法求AB中點(diǎn)的軌跡方程.
解答 (Ⅰ)證明:連接RF,PF,
由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°,
∴∠PFQ=90°,
∵R是PQ的中點(diǎn),
∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR,
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,
∵∠BQF+∠BFQ=180°-∠QBF=∠PAF=2∠PAR,
∴∠FQB=∠PAR,
∴∠PRA=∠PQF,
∴AR∥FQ.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
F($\frac{1}{2}$,0),準(zhǔn)線為 x=-$\frac{1}{2}$,
S△PQF=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}$|y1-y2|,
設(shè)直線AB與x軸交點(diǎn)為N,
∴S△ABF=$\frac{1}{2}$|FN||y1-y2|,
∵△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,
∴2|FN|=1,∴xN=1,即N(1,0).
設(shè)AB中點(diǎn)為M(x,y),由$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=2{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=2{x}_{2}}\end{array}\right.$得${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}$=2(x1-x2),
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{y}{x-1}$,
∴$\frac{y}{x-1}$=$\frac{1}{y}$,即y2=x-1.
∴AB中點(diǎn)軌跡方程為y2=x-1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì),考查軌跡方程,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -15x4 | B. | 15x4 | C. | -20ix4 | D. | 20ix4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 18+36$\sqrt{5}$ | B. | 54+18$\sqrt{5}$ | C. | 90 | D. | 81 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分非必要條件 | B. | 必要非充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既非充分也非必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{π}{2}$個(gè)單位長度 | B. | -π個(gè)單位長度 | C. | π個(gè)單位長度 | D. | $\frac{π}{2}$個(gè)單位長度 |
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