Question

在△ABC中，a²+b²=c²+ab，且sinAsinB=

3

4

，則三角形為

 

三角形．

Answer 1

分析：把題設(shè)等式代入余弦定理求得cosC的值，進(jìn)而求得C，進(jìn)而利用cos（A+B）=-cosC，求得cos（A+B）的值，利用兩角和公式展開(kāi)后求得cosAcosB的值，進(jìn)而求得cos（A-B），判斷出A-B=0，根據(jù)一個(gè)角為60°的等腰三角形則為等邊三角形．

解答：解：由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC．
∵a²+b²=c²+ab，
∴ab-2abcosC=0．
∴cosC=

1

2

，∴C=60°
∵sinAsinB=

3

4

，cos（A+B）=cos（180°-C）=cos120°=-

1

2

，
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
∴cosAcosB=

1

4

∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0．
∴A=B=60°
∴△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形形狀的判斷．這類(lèi)題目往往由于目標(biāo)明確，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步結(jié)論之后能夠很快確定后續(xù)思路．尤其本題中首先得出了一個(gè)特殊角，加之sinAsinB，則更容易聯(lián)想到三角形內(nèi)角和定理了．