Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O為棱AD的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PD-B的大��；
（3）求C點到平面PDB的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出PO⊥AD，由此能證明PO⊥平面ABCD．
（2）以O為原點，OA為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PD-B的大�。�
（3）求出C（-1，2，0），$\overrightarrow{PC}$=（-1，2，-$\sqrt{3}$），利用向量法能求出C點到平面PDB的距離．

解答 證明：（1）∵側面PAD是正三角形，O為棱AD的中點，
∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
解：（2）∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD是正三角形，
∴以O為原點，OA為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
設平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=z+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，0，$\sqrt{3}$），
設平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=a+2b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-a-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（-3，3，$\sqrt{3}$），
設二面角A-PD-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-6|}{\sqrt{12}•\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角A-PD-B的大小為arccos$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
（3）C（-1，2，0），$\overrightarrow{PC}$=（-1，2，-$\sqrt{3}$），
∴C點到平面PDB的距離d=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{6}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．