Question

如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四邊形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AE=

2

，求多面體ABCDEF的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，從而平面ADE∥平面BCF，由此能證明CF∥平面ADE．
（Ⅱ）連結(jié)AC，交BD于O，由線面垂直得AC⊥DE，由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，從而AC⊥平面BDEF，進(jìn)而多面體ABCDEF的體積V=2V_A-BDEF，由此能求出多面體ABCDEF的體積V．

解答： （Ⅰ）證明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∵四邊形BDEF是正方形，∴DE∥BF，
∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，
∵CF?平面BCF，∴CF∥平面ADE．
（Ⅱ）解：連結(jié)AC，交BD于O，
∵四邊形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
∴DE⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，
∵AE=

2

，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，
∴AO=CO=

3

2

，
∴多面體ABCDEF的體積：
V=2V_A-BDEF=2×

1

3

×AO×S正方形BDEF
=2×

1

3

×

3

2

×12
=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．