Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率為

3

2

，短軸的長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線l與橢圓M交于P，Q兩點(diǎn)，滿足

OP

•

OQ

=0，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)短軸的長(zhǎng)求得b，再根據(jù)離心率得出a，c關(guān)系，最后根據(jù)b=

c2-a2

求得a，橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線l：y=kx+2，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量垂直的坐標(biāo)公式即可求得k值，從而解決問(wèn)題．進(jìn)而l的方程可得．

解答：解：（1）由e=

c

a

=

3

2

，b=1，a2=b2+c2得a=2（2分）
所以橢圓方程為

x2

4

+y2=1（4分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）設(shè)直線l：y=kx+2（5分）
由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0△=64k²-48＞0①（7分）
x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

②∵

OP

•

OQ

=0
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0③（10分）
由②③解得k=±2滿足①所以l：2x-y+2=0或2x+y-2=0（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．要熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b和c的關(guān)系．本題還考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及平面向量的幾何由意義．