Question

17．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于P，Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為點M，直線MQ與x軸交于點N，若△PQN的面積4$\sqrt{3}$，則實數p=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 先確定N的坐標，再根據△PQN的面積4$\sqrt{3}$，即可得出實數p的值．

解答 解：設P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），M（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，-y₁），
設直線PQ的方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），即x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+$\frac{p}{2}$，
代入y²=2px可得y²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$py-p²=0，∴y₁y₂=-p²，y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p．
k_MQ=$\frac{2p}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，∴直線MQ的方程為y+y₁=$\frac{2p}{{y}_{2}-{y}_{1}}$（x-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$）
令y=0可得x=-$\frac{p}{2}$．
∴△PQN的面積S=$\frac{1}{2}$×p×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×p×$\sqrt{\frac{4}{3}{p}^{2}+4{p}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴p=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了拋物線的定義及其性質、過焦點的弦的性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．