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20.數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱{an}是“G數(shù)列”.
(1)若數(shù)列{an}的通項公式an=2n,判斷{an}是否為“G數(shù)列”;
(2)等差數(shù)列{an},公差d≠0,a1=2d,求證:{an}是“G數(shù)列”;
(3)設Sn與an滿足(1-q)Sn+an+1=r,其中a1=2t>0,q≠0.若{an}是“G數(shù)列”,求q,r滿足的條件.

分析 (1)通過n=1,a1=S1=2,然后求解數(shù)列的Sn,利用新定義判斷即可.
(2)求出Sn,對任意n∈N*,存在m∈N*使Sn=am,利用新定義判斷即可.
(3)n≥2時,推出an+1=qan,求出,通過q=1時,推出{an}不是“G數(shù)列”,q≠1時,求出Sn,利用新定義推出q=2,r=0,t>0的正實數(shù)

解答 解:(1)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,
當n=1時,a1=S1=2.
當n=1時,S1=a1
當n≥2時,Sn=an+1
∴{an}不是“G數(shù)列”
(2)Sn=na1+12n(n-1)d=2dn+12n(n-1)d=12n(n+3)d,am=a1+(m-1)d=(m+1)d
對任意n∈N*,存在m∈N*使Sn=am,即12n(n+3)d=(m+1)d,
∵公差d≠0,
∴n(n+3)=2(m+1),
∵n,n+3是一奇一偶,
∴m一定是自然數(shù),
∴{an}是“G數(shù)列”;
(3)n≥2時(1-q)Sn+an+1=r,(1-q)Sn-1+an=r(1-q)an+an+1-an=0,
∴an+1=qan,
(1-q)×2t+a2=ra2=r+2qt-2t=p,
∴an={2tn=1pqn2n2
q=1時,an={2tn=1rn2,Sn=2t+(n-1)r=r不恒成立 顯然{an}不是“G數(shù)列”,
q≠1時,Sn=2t+p1qn11q=2t+p1p-pqn11q
n=1,S1=a1,{an}是“G數(shù)列”,所以對任意n≥2時,存在m∈N*成立,
∴Sn=2t+p1p-pqn11q=pqm-2可得pqn11q=pqm-2,即qn-1=(q-1)qm-2,解得q=2,
∴q=2,由2t+p1q,得p=2t,
由r+2qt-2t=p,∴r+4t-2t=2t,r=0,
∴q=2,r=0,t>0的正實數(shù).

點評 本題考查數(shù)列的應用,數(shù)列與函數(shù)相結合,考查新定義的應用,轉化思想以及分析問題解決問題的能力.

練習冊系列答案
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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若akak+1=ak+2,求正整數(shù)k的值;
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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
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B.函數(shù)|f(x)|為奇函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞增
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D.函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增

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