分析 (1)F(x)=f(x)-g(x)在定義域上單調(diào)遞增,等價(jià)于a在R上有解,由此可求a的取值范圍;
(2)設(shè)M(x1,y1) N(x2,y2),且x1<x2,根據(jù)條件得到x2-x1的表達(dá)式,再令t=x2-x1>0,則設(shè)G(t)=et2-e−t2-t,利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)為增函數(shù),繼而得出即f′(x0)<1.
解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=me2x+nex,g(x)=x,n=4,
∴F(x)=me2x+4ex-x,
則F′(x)=2me2x+4ex-1,
∵F(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,
∴F′(x)=2me2x+4ex-1>0,
∴m>12e2x-2ex在R上有解,
∴m>-2;
(Ⅱ)設(shè)M(x1,y1).N(x2,y2),不妨設(shè)x1<x2,則 x2+x12=x0,
me2x1+nex1=x1,me2x2+nex2=x2,
兩式相減得:m(e2x2-e2x1)+n(ex2-ex1)=x2-x1,
整理得x2-x1=m(ex2-ex1)(ex2+ex1)+n(ex2-ex1)
則 x2−x1ex2−ex1=m(ex2+ex1)+n≥2mex1+x22+n,
于是 x2−x1ex2−ex1•ex1+x22≥2mex2+x1+nex1+x22=f′(0)
而 x2−x1ex2−ex1•ex1+x22=x2−x1ex2−x1−1•ex1+x22,
令t=x2-x1>0,則設(shè)G(t)=et2-e−t2-t,
則G′(t)=12et2+12e−t2-1>12×2 √et2•e−t2-1=0,
∴y=G(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
則G(t)>G(0),
于是有et2-e−t2>t,
即et-1>t•et2,且et-1>0,
∴tet−1•et2<1,
即f′(x0)<1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于難題.
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A. | 1 | B. | 3 | C. | 5 | D. | 無法確定 |
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