已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),對定義域內(nèi)的任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)-3
(1)求f(1)的值;
(2)求證:f(x)+f(
1x
)=6(x>0)
;
(3)若x>1時,f(x)<3,判斷f(x)在其定義域上的單調(diào)性,并證明.
分析:(1)利用賦值即令x=y=1的方法易得結(jié)果.
對于(2)的抽象等式的證明,利用(1)的結(jié)論聯(lián)想f(1)=f(x•
1
x
)=3
即可解答.
對于(3)抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明,需要特別的構(gòu)造方法,本題中的特點是含有f(xy),因此在設(shè)出0<x1<x2之后想到
構(gòu)造出:
x2
x1
>1
,可應(yīng)用已知得到f(
x2
x1
)<3
,再利用(2)的結(jié)論,下面的證明過程就很自然了.
解答:解:(1)由已知已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),因此令x=y=1得
     f(1•1)=f(1)+f(1)-3,可得:
     f(1)=3                        (2分)
    (2)由已知以及(1)的結(jié)論可得f(1)=f(x•
1
x
)
=f(x)+f(
1
x
)-3
=3
     即有:f(x)+f(
1
x
)=6(x>0)
      (7分)
    (3)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù)(9分),證明如下:
     設(shè)x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
x2
x1
>1,∴f(
x2
x1
)<3,f(x2)+f(
1
x1
)-3<3
,
     f(x2)<6-f(
1
x1
)=f(x1)

∴f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù).   (14分)
點評:本題考查抽象函數(shù)的概念及其應(yīng)用,抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明,抽象函數(shù)不等式的解集的求法.
考查了構(gòu)造函數(shù)以及函數(shù)值的賦值法即函數(shù)特值的應(yīng)用技巧.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標(biāo)為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法正確的有( 。﹤.
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點P處的導(dǎo)數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點P處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在.
③因為3>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,則實數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案