分析 (1)由橢圓G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為√32,知a2=4b2,由→MF1•→MF2=0,知MF1⊥MF2,且△MF1F2的面積為1,知|MF1||MF2|=2.由此能導(dǎo)出橢圓G的方程;
(2)由題意設(shè)出l:y=k(x-t),得到OQ所在直線方程,求出Q的坐標(biāo),由直線和圓相切得到k2=1t2−1,再聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由|AQ|=|BP|可得AB中點(diǎn)與PQ中點(diǎn)重合,由此列式求得k值,代入k2=1t2−1求得t值.
解答 解:(Ⅰ))∵ca=√32,∴c2a2=a2−2a2=34,即a2=4b2,①
∵→MF1•→MF2=0,∴MF1⊥MF2,且△MF1F2的面積為1,
則S△MF1F2=12|MF1||MF2|=1,即|MF1||MF2|=2.
∵|MF1|+|MF2|=2a,
∴|MF1|2+2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2.
∴|F1F2|2+4=4a2.
∴4(a2-b2)+4=4a2,∴b2=1.②
將②代入①,得a2=4.
∴橢圓G的方程為x24+y2=1;
(Ⅱ)如圖,由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為k,
則l:y=k(x-t),
則OQ所在直線方程為y=-1kx,
由O到直線l的距離d=|−kt|√k2+1=1,得k2=1t2−1,
聯(lián)立{y=k(x−t)y=−1kx,解得:Q(k2t1+k2,−kt1+k2),
聯(lián)立{y=k(x−t)x24+y2=1,得(1+4k2)x2-8k2tx+4k2t2-4=0,
∴x1+x2=8k2t1+4k2,
由題意可知,AB中點(diǎn)與PQ中點(diǎn)重合,
則4k2t1+4k2=k2t1+k2+t2,即k2=12.
代入k2=1t2−1,得t=±√3.
∴實(shí)數(shù)t的值為±√3.
點(diǎn)評 本題主要考查橢圓方程求法,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x216+y29=1 | B. | x225+y216=1 | C. | x225+y29=1 | D. | x216+y225=1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆廣西南寧二中等校高三8月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:解答題
學(xué)校為測評班級學(xué)生對任課教師的滿意度,采用“100分制”打分的方式來計(jì)分,規(guī)定滿意度不低于98分,則評價(jià)該教師為“優(yōu)秀”,現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取10名,以下莖葉圖記錄了他們對某教師的滿意度分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉);
(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)求從這10人中隨機(jī)選取3人,至多有1人評價(jià)該教師是“優(yōu)秀”的概率;
(3)以這10人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)班級的總體數(shù)據(jù),若從該班任選3人,記表示抽到評價(jià)該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù),求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2016-2017學(xué)年新疆庫爾勒市高二上學(xué)期分班考試數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a?0)對于任意x?R都有f(1+x)=f(1-x),且函數(shù)y=f(x)+2x為偶函數(shù);函數(shù)g(x)=1-2x.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式
(2)求證:方程f(x)+g(x)=0在區(qū)間[0, 1]上有唯一實(shí)數(shù)根;
(3)若有f(m)=g(n),求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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