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13.已知橢圓G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,其離心率為32,橢圓G上一點(diǎn)M滿足MF1MF2=0.且△MF1F2的面積為1.
(I)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)過橢圓G長軸上的點(diǎn)P(t,0)的直線l與圓O:x2+y2=1相切于點(diǎn)Q(P與Q不重合),交橢圓G于A,B兩點(diǎn),若|AQ|=|BP|,求實(shí)數(shù)t的值.

分析 (1)由橢圓G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,知a2=4b2,由MF1MF2=0,知MF1⊥MF2,且△MF1F2的面積為1,知|MF1||MF2|=2.由此能導(dǎo)出橢圓G的方程;
(2)由題意設(shè)出l:y=k(x-t),得到OQ所在直線方程,求出Q的坐標(biāo),由直線和圓相切得到k2=1t21,再聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由|AQ|=|BP|可得AB中點(diǎn)與PQ中點(diǎn)重合,由此列式求得k值,代入k2=1t21求得t值.

解答 解:(Ⅰ))∵ca=32,∴c2a2=a22a2=34,即a2=4b2,①
MF1MF2=0,∴MF1⊥MF2,且△MF1F2的面積為1,
SMF1F2=12|MF1||MF2|=1,即|MF1||MF2|=2.
∵|MF1|+|MF2|=2a,
∴|MF1|2+2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2
∴|F1F2|2+4=4a2
∴4(a2-b2)+4=4a2,∴b2=1.②
將②代入①,得a2=4.
∴橢圓G的方程為x24+y2=1;
(Ⅱ)如圖,由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為k,
則l:y=k(x-t),
則OQ所在直線方程為y=-1kx,
由O到直線l的距離d=|kt|k2+1=1,得k2=1t21,
聯(lián)立{y=kxty=1kx,解得:Q(k2t1+k2kt1+k2),
聯(lián)立{y=kxtx24+y2=1,得(1+4k2)x2-8k2tx+4k2t2-4=0,
x1+x2=8k2t1+4k2,
由題意可知,AB中點(diǎn)與PQ中點(diǎn)重合,
4k2t1+4k2=k2t1+k2+t2,即k2=12
代入k2=1t21,得t=±3
∴實(shí)數(shù)t的值為±3

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓方程求法,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,是中檔題.

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