Question

已知是二次函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且對任意的，恒成立．

（1）求的解析表達(dá)式；

（2）設(shè)，曲線：在點(diǎn)處的切線為，與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為．求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】本題主要考查二次函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，以及運(yùn)算求解能力．在解答過程當(dāng)中，求導(dǎo)的能力、運(yùn)算的能力、問題轉(zhuǎn)換的能力以及數(shù)形結(jié)合的能力都得到了充分的體現(xiàn)，值得同學(xué)們體會(huì)反思．

（1）可以現(xiàn)設(shè)出二次函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合信息獲得多項(xiàng)式相等進(jìn)而利用對應(yīng)系數(shù)相等解得參數(shù)，即可明確函數(shù)解析式；

（2）結(jié)合函數(shù)的解析式通過求導(dǎo)很容易求的在點(diǎn)P（t，f（t））處的切線l，由此即可表示出三角形的面積關(guān)于t的函數(shù)S（t）．從而利用導(dǎo)函數(shù)知識即可求得函數(shù)S（t）的最小值

解：（Ⅰ）設(shè)（其中），則，     ………1分

．

由已知，得，

∴，解之，得，，，∴．  ……4分

（2）由（1）得，，切線的斜率，

∴切線的方程為，即．    …………6分

從而與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，

∴（其中）．                          ………8分

∴．                  ……………10分

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．                  ……12分

∴．                         …………13分