Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的（n∈N^*）且n≥2，都有S_n=2S_n-1+1，若a₁=1，b_n=log₂a_n．解決下列問題：（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{$\frac{3}{（_{n}+1）（_{n+1}+2）}$}的前n項(xiàng)和為T_n；
（3）求$\frac{_{n+1}}{（n+1）_{n-2}}$（n∈N^*）的最大值及取得最大值時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2S_n-1+1（n≥2），得S_n+1=2S_n+1，兩式作差可得a_n+1=2a_n（n≥2），結(jié)合$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$，可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入$\frac{3}{（_{n}+1）（_{n+1}+2）}$，整理后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{$\frac{3}{（_{n}+1）（_{n+1}+2）}$}的前n項(xiàng)和為T_n；
（3）求出$\frac{_{n+1}}{（n+1）_{n-2}}$，令f（n）=$\frac{n}{（n+1）（n-3）}$=$\frac{n}{{n}^{2}-2n-3}=\frac{1}{n-\frac{3}{n}-2}$，由單調(diào)性求得$\frac{_{n+1}}{（n+1）_{n-2}}$的最大值及取得最大值時(shí)n的值．

解答 證明：（1）由S_n=2S_n-1+1（n≥2），得S_n+1=2S_n+1，
兩式作差可得a_n+1=2a_n（n≥2），
又由S_n=2S_n-1+1，a₁=1，得a₁+a₂=2a₁+1，
∴a₂=a₁+1=2，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，即數(shù)列{a_n}為公比是2的等比數(shù)列；
解：（2）由（1）得，${a}_{n}={2}^{n-1}$，
∴b_n=log₂a_n =$lo{g}_{2}{2}^{n-1}=n-1$，
則$\frac{3}{（_{n}+1）（_{n+1}+2）}$=$\frac{3}{n（n+2）}=\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
則T_n=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{9}{4}-\frac{3（2n+3）}{2（n+1）（n+2）}$；
（3）$\frac{_{n+1}}{（n+1）_{n-2}}$=$\frac{n}{（n+1）（n-3）}$，
令f（n）=$\frac{n}{（n+1）（n-3）}$=$\frac{n}{{n}^{2}-2n-3}=\frac{1}{n-\frac{3}{n}-2}$，
f（1）=$-\frac{1}{4}$，f（2）=$-\frac{2}{3}$，f（3）無意義，
當(dāng)n≥4時(shí)，f（n）為減函數(shù)，而f（4）=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{_{n+1}}{（n+1）_{n-2}}$（n≠3）的最大值為$\frac{4}{5}$，取得最大值的n為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．