如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=
1
2
CD=2
,點(diǎn)M在線段EC上.
(I)當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時,求證:BM∥平面ADEF;
(II)當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為
6
6
時,求三棱錐M-BDE的體積.
分析:(I)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,驗證
BM
OC
=0
,即
BM
OC
,從而可證BM∥平面ADEF;
(II)利用平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為
6
6
,確定點(diǎn)M為EC中點(diǎn),從而可得S△DEM=2,AD為三棱錐B-DEM的高,即可求得三棱錐M-BDE的體積.
解答:(I)證明:以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),B(2,2,0)C(0,4,0),E(0,0,2),所以M(0,2,1).
BM
=(-2,0,1)
--------(2分)
OC
=(0,4,0)
是平面ADEF的一個法向量.
BM
OC
=0
,∴
BM
OC

∴BM∥平面ADEF------(4分)
(II)解:設(shè)M(x,y,z),則
EM
=(x,y,z-2)
,
EC
=(0,4,-2)
,設(shè)
EM
EC
(0<λ<1
,則x=0,y=4λ,z=2-2λ,即M(0,4λ,2-2λ).(6分)
設(shè)
n
=(x1y1,z1)
是平面BDM的一個法向量,則
OB
n
=2x1+2y1=0
OM
n
=4λy1+(2-2λ)z1=0

取x1=1得 y1=-1,z1=
1-λ
即  
n
=(1,-1,
1-λ
)

又由題設(shè),
OA
=(2,0,0)
是平面ABF的一個法向量,------(8分)
|cos<
OA
n
>|=
OA
n
|
OA
|•|
n
|
=
2
2
2+
4λ2
(1-λ)2
=
6
6
⇒λ=
1
2
--(10分)
即點(diǎn)M為EC中點(diǎn),此時,S△DEM=2,AD為三棱錐B-DEM的高,
∴VM-BDE=VB-DEM=
1
3
•2•2=
4
3
----------(12分)
點(diǎn)評:本題考查線面平行,考查三棱錐的體積.考查利用向量知識解決立體幾何問題,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點(diǎn).
(1)求證:BM∥平面ADEF;
(2)求幾何體ABCDEFAD的體積和表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點(diǎn).
(I)求證:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求證:平面BDE⊥平面BEC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在平面ABCD垂直,已知BC=2AD=4,∠ABC=60°,BF⊥AC.
(Ⅰ)求證:AC⊥面ABF;
(Ⅱ)求異面直線BE與AF所成的角;
(Ⅲ) 求該幾何體的表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4.
(Ⅰ)求異面直線DE與BC的距離;
(Ⅱ)求二面角B-EC-D的正切值.

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