Question

8．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，其中$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{3}，|{\overrightarrow b}|=2$，且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a$，則向量$\overrightarrow a和\overrightarrow b$的夾角是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$及$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$便可以得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=3$，再由$|\overrightarrow|=2$便可由向量數(shù)量積的計算公式得到$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而便可得出向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的夾角的大�。�

解答 解：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow=3-\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=3$；
即$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=2\sqrt{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=3$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運算及其計算公式，以及向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角．