Question

4．已知函數(shù)f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒過定點(diǎn)（2，2）．
（1）求實(shí)數(shù)a；
（2）在（1）的條件下，將函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個(gè)單位，再向左平移a個(gè)單位后得到函數(shù)g（x），設(shè)函數(shù)g（x）的反函數(shù)為h（x），求h（x）的解析式；
（3）對(duì)于定義在（1，4]上的函數(shù)y=h（x），若在其定義域內(nèi)，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=a，則f（a）=2，從而可知f（x）過定點(diǎn)（a，2），再由題設(shè)即可求得a值；
（2）根據(jù)圖象平移規(guī)則：左加右減，上加下減即可求得g（x）表達(dá)式，從而可得h（x）的解析式；
（3）令t=log₃x，則t∈[0，2]，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+6 恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次不等式恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決，利用二次函數(shù)的性質(zhì)易求其最值；

解答 解：（1）由已知a^2-a+1=2，∴a=2．　
（2）∵f（x）=2^x-2+1，
∴g（x）=2^x，
∴h（x）=log₂x（x＞0），
（3）要使不等式有意義：則有1＜x≤4且1＜x²≤4，
∴1＜x≤2，
據(jù)題有${（{log_2}x+2）^2}≤{log_2}{x^2}+m{log_2}x+6$在（1，2]恒成立，
∴設(shè)t=log₂x（1＜x≤2），
∴0＜t≤1，
∴（t+2）²≤2t+tm+6在（0，1]時(shí)恒成立．
即：$m≥\frac{{{t^2}+2t-2}}{t}=t-\frac{2}{t}+2$在[0，1]時(shí)恒成立，
設(shè)$y=t-\frac{2}{t}+2$，t∈（0，1]單調(diào)遞增，
∴t=1時(shí)，有y_max=1，
∴m≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)圖象變換及反函數(shù)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，解決恒成立問題的基本思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決．