Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足，，任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的

1. A.
   充分不必要條件
2. B.
   必要不充分條件
3. C.
   充分必要條件
4. D.
   既不充分也不必要條件

Answer 1

C
分析：由題意可得y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，在（，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，）上是減函數(shù)．
根據(jù)任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），可得 x₁+x₂＜5． 由x₁+x₂＜5可得x₂ -＜-x₁，即x₁離對稱軸較遠(yuǎn)，
故f（x₁）＞f（x₂），由此得出結(jié)論．
解答：∵，∴f（x）=f（5-x），即函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱．
又因，故函數(shù)y=f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)．
再由對稱性可得，函數(shù)y=f（x）在（-∞，）上是減函數(shù)．
∵任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），故x₁和x₂在區(qū)間（-∞，）上，∴x₁+x₂＜5．
反之，若 x₁+x₂＜5，則有x₂ -＜-x₁，故x₁離對稱軸較遠(yuǎn)，x₂ 離對稱軸較近，
由函數(shù)的圖象的對稱性和單調(diào)性，可得f（x₁）＞f（x₂）．
綜上可得，“任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要條件，
故選C．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象的對稱性的應(yīng)用，充分條件、必要條件、充要條件的定義，
屬于中檔題．