Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-2，4），$\overrightarrow$=（-1，-2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的余弦值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積與夾角公式，即可求出兩向量夾角的余弦值；
（2）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與兩向量垂直，數(shù)量積為0，列出方程求出λ的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（-2，4），$\overrightarrow$=（-1，-2），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-2×（-1）+4×（-2）=-6，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{（-2）}^{2}{+4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+（-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角的余弦值為
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{-6}{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=-$\frac{3}{5}$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$=（-2，4）-（-λ，-2λ）=（λ-2，2λ+4），
2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（-4，8）+（-1，-2）=（-5，6）；
又向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$-2λ$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=-5（λ-2）+6（2λ+4）=0，
解得λ=-$\frac{34}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與夾角公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．