Question

19．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且一條準線與拋物線y²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x的準線重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點作直線l交橢圓于A、B兩點，M為橢圓上異于點A、B的一點．
若直線AM和BM均不垂直于x軸，且它們的斜率分別為k₁和k₂，求怔：k₁k₂為定值，并求出該定值；
②若|AM|=|BM|，求△ABM的面積的最小值以及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和拋物線的準線方程，由橢圓的基本量的關(guān)系，可得a=2，b=1，進而得到橢圓方程；
（2）①設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x₂，y₂），代入橢圓方程，相減，再由直線的斜率公式，化簡整理即可得到定值；
②|AM|=|BM|，可得OM⊥l，當直線l的斜率不存在，求得交點，可得△ABM的面積；設(shè)直線l的方程為y=kx，則OM的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，代入橢圓方程，求得交點A，B，M的坐標，運用三角形的面積公式，以及換元法和基本不等式即可得到所求最小值和直線l的方程．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
拋物線y²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x的準線方程為x=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
可得$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得a=2．c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）①證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），M（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，
兩式相減可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{4}$+（y₁²-y₂²）=0，
即為$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
則k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
即k₁k₂為定值-$\frac{1}{4}$．
②|AM|=|BM|，可得OM⊥l，
當直線l的斜率不存在，可得l：x=0，則M為橢圓的長軸的端點，
即有△ABM的面積為ab=2；
設(shè)直線l的方程為y=kx，則OM的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得x=±$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，y=±$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
即有A（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），B（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
將k換為-$\frac{1}{k}$，可設(shè)M（$\frac{2}{\sqrt{1+\frac{4}{{k}^{2}}}}$，$\frac{-\frac{2}{k}}{\sqrt{1+\frac{4}{{k}^{2}}}}$），
則△ABM的面積為S=$\frac{1}{2}$|OM|•|AB|=|OM|•|OA|
=$\sqrt{\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{4（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{1+\frac{4}{{k}^{2}}}}$=4$\sqrt{\frac{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}{17+4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}}$，
設(shè)t=k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2，則S=4$\sqrt{\frac{2+t}{17+4t}}$=4$\sqrt{\frac{1}{4+\frac{9}{t+2}}}$≥4$\sqrt{\frac{1}{4+\frac{9}{4}}}$=$\frac{8}{5}$．
綜上可得，當k=±1即直線l的方程為y=±x，△ABM的面積取得最小值$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和拋物線的準線方程，考查直線的斜率公式的運用和點滿足橢圓方程，同時考查換元法和基本不等式的運用：求最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．