Question

若函數f（x）=-3x+x³
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=a（a為實數）在R上有三個不同實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）-3x+x³=2?x³-3x-2=0?x³+1-3x-3=0?（x+1）²（x-2）=0?x₁=x₂=-1，x₃=2．…（4分）
（Ⅱ）由f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，得x=1或x=-1．
當x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0；當-1＜x＜1時，f'（x）＜0，所以在（-∞，-1]和[1，+∞）
上f（x）單調遞增，在[-1，1]上f（x）單調遞減，在R上f（x）的極大值為f（-1）=2，
在R上f（x）的極小值為f（1）=-2…（8分）
函數方程f（x）=a在R上有三個不同的實數根，即直線y=a與函數f（x）=-3x+x³的圖象有三個交點，
由f（x）的大致圖象可知，當a＜-2或a＞2時，直線y=a與函數f（x）=-3x+x³的圖象沒有交點；
當a=-2或a=2時，y=a與函數f（x）=-3x+x³的圖象有兩個交點；
當-2＜a＜2時，直線y=a與函數f（x）=-3x+x³的圖象有三個交點．
因此實數a的取值范圍是-2＜a＜2．
分析：（I）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調減區(qū)間．
（II）把判斷方程f（x）=a何時有三個不同的實數根的問題，轉化為判斷兩個函數何時有三個不同交點的問題，數形結合，問題得解．
點評：本題考查了函數的單調性，利用圖象判斷方程的根的個數．利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區(qū)間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．