Question

如圖，A、B分別是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點(diǎn)，P是雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點(diǎn)，如果D恰是PB 的中點(diǎn)．
（1）求證：無論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過橢圓的上焦點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），根據(jù)題意寫出A、B坐標(biāo)分別是（0，a）、（0，-a），而D是PB的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并代入橢圓方程，解方程組即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得直線CD的斜率；
（2）當(dāng)CD過橢圓焦點(diǎn)(0，

a2-b2

)時(shí)，則

a2-b2

=

a

2

，∴b=

3

4

a2，根據(jù)c²=a²+b²，即可求得雙曲線的離心率．

解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），又A、B坐標(biāo)分別是（0，a）、（0，-a）
而D是PB的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

x0

2

，

y0-a

2

），
把D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得：

(y0-a)2

a2

+

x 2 0

b2

=4    ①
又

y 2 0

a2

-

x 2 0

b2

=1      ②
由①②解得，y₀=2a（y₀=-a舍去）x0=

3

b，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

b，2a)
故kPA=

y0-a

x0

=

a

3 b

，直線PA的方程是y=

a

3 b

x+a與

y2

a2

+

x2

b2

=1聯(lián)立，解得
C點(diǎn)坐標(biāo)為(-

3 b

2

，

a

2

)，又D點(diǎn)坐標(biāo)為(

3

2

b，

a

2

)
∴C、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故無論a、b如何變化，都有CD∥x軸，直線CD的斜率恒為常常0．
（2）當(dāng)CD過橢圓焦點(diǎn)(0，

a2-b2

)時(shí)，
則

a2-b2

=

a

2

，∴b=

3

4

a2，
雙曲線中，c=

a2+b2

=

7

2

a，
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查橢圓和雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，以及雙曲線的離心率的求解，以及直線和橢圓相交中的有關(guān)中點(diǎn)弦的問題，綜合性強(qiáng)．