Question

16．已知函數(shù)f（x）=x+alnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處與直線y=3x-2相切，求a的值；
（2）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程，可得a的方程，解得a=2；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對a討論，分a＞0，a=0，a＜0，求出單調(diào)區(qū)間，可得最值，由不等式恒成立的解法，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）=x+alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，
可得y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=1+a=3，
解得a=2；
（2）f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，x＞0，
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域為R；
當(dāng)a=0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時，f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，（-a，+∞）上單調(diào)遞增．
則當(dāng)a＞0時，f（x）≥a不可能恒成立；
當(dāng)a=0時，f（x）=x≥0，成立；
當(dāng)a＜0時，f（x）在x=-a處取得最小值f（-a），則只需f（-a）≥a，
即-a+aln（-a）≥a，所以ln（-a）≤2，
解得a≥-e²，所以-e²≤a＜0．
綜上所述：a的范圍是[-e²，0]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法和不等式恒成立思想的運(yùn)用，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．