Question

已知數列{a_n}，圓C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圓C₂：x²+y²+2x+2y-2=0．若圓C₁與C₂交于A、B兩點，且AB平分圓C₂的周長．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）若a₁=-3，求圓C₁被直線x+2y+2=0截得弦長最小時圓C₁的方程．
（Ⅲ）若圓C₃為（Ⅱ）中求出的圓C₁的同心圓，且半徑為2．設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₂和C₃相交，且直線l₁被圓C₂截得的弦長與直線l₂被圓C₃截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）首先把圓的一般式轉化為標準式，進一步利用圓的特殊位置求出關系式，進一步求的結論．
（Ⅱ）利用二次函數的最值問題求得圓的方程．
（Ⅲ）⊙C₃的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，即

|-k+1+b-ka|

k2+1

=

|- 1 2 -k-kb-a|

k2+1

，化簡得出：（a-b）k=

3

2

+b+a或（a+b+2）k=b-a+

1

2

因k的取值有無窮多個，所以對應系數為0.

a-b=0 a+b+ 3 2

=0或

a+b+2=0 b-a+ 1 2 =0

求解即可得出P點坐標．

解答： 解：（Ⅰ）圓C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0轉化為：（x-a_n）²+（y+a_n+1）²=a

2 n

+a

2 n+1

+1，
圓心坐標為：（a_n，a_n+1），半徑為：

an2+an+12+1

，
圓C₂，（x+1）²+（y+1）²=4，圓心坐標為：（-1，-1），半徑為2，
圓C₁與圓C₂交于A，B兩點且這兩點平分圓C₂的周長．
則：|C₁C₂|²+r₂²=r₁²，
即：（a_n+1）²+（a_n+1-1）²+4=a_n²+a_n+1²+1，
求得：an+1-an=

5

2

（常數），
所以：數列{a_n}是等差數列，
（Ⅱ）∵a₁=-3，
∴a_n=

5n

2

-

11

2

，
r₁=

an2+an+12+1

=

1

2

50n2-170n+161

，
∵n∈N^*，∴n=2時，r₁取最小，
∵d=

1

5

，
∴r 12=（

l

2

）²+

1

5

，
∴此時弦長也最短，
∴圓C₁的方程為：x²+y²+x+4y-1=0
（Ⅲ）C₃：（x+

1

2

）²+（y+2）²=4，
設點P（a，b）滿足條件，不妨設直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-

1

k

（x-a），
∵⊙C₃和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₃截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，
∴⊙C₃的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即

|-k+1+b-ka|

k2+1

=

|- 1 2 -k-kb-a|

k2+1

，
整理得|-k+1+b-ka|=|-

1

2

-k-kb-a|，
∴即-k+1+b-ka|=±（-

1

2

-k-kb-a）
（a-b）k=

3

2

+b+a或（a+b+2）k=b-a+

1

2

因k的取值有無窮多個，所以

a-b=0 a+b+ 3 2

=0或

a+b+2=0 b-a+ 1 2 =0

解得

a=- 3 4 b=- 3 4

或

a=- 1 8 b=- 5 8

這樣的點只可能是點P₁（-

3

4

，-

3

4

）或點P₂（-

1

8

，-

5

8

）
故所有滿足條件的點P₁（-

3

4

，-

3

4

）或點P₂（-

1

8

，-

5

8

）

點評：本題綜合考察了直線與圓的位置關系，點到直線的距離，化簡難度較大，本題還融合了數列的知識，要把圓的知識掌握的很好，屬于難題．