Question

設(shè)

i

=（1，0），

j

=（0，1），若向量

a

滿(mǎn)足|

a

-2

i

|+|

a

-

j

|=

5

，則|

a

+2

j

|的取值范圍是（　　）

• A、[2

  2

  ，3]
• B、[

  6 5

  5

  ，2

  2

  ]
• C、[

  5

  ，4]
• D、[

  6 5

  5

  ，3]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)

OA

=2

i

，

OB

=

j

，

OP

=

a

．由于|2

i

-

j

|=|（2，-1）|=

5

．而向量

a

滿(mǎn)足|

a

-2

i

|+|

a

-

j

|=

5

，可得點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上．設(shè)

OM

=-2

j

，

a

=(x，y)．可知：|

a

+2

j

|表示點(diǎn)M到線(xiàn)段AB上的點(diǎn)的距離d．線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)方程為

x

2

+y=1．當(dāng)MP⊥AB時(shí)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：d=

|0-4-2|

5

=

6 5

5

．而|MA|=2

2

，|MB|=3．經(jīng)過(guò)比較即可得出|

a

+2

j

|的取值范圍．

解答：解：設(shè)

OA

=2

i

，

OB

=

j

，

OP

=

a

．
∵|2

i

-

j

|=|（2，-1）|=

5

．
而向量

a

滿(mǎn)足|

a

-2

i

|+|

a

-

j

|=

5

，
∴點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上．
設(shè)

OM

=-2

j

，

a

=(x，y)．
則|

a

+2

j

|表示點(diǎn)M到線(xiàn)段AB上的點(diǎn)的距離d．
線(xiàn)段AB所在的直線(xiàn)方程為

x

2

+y=1．
當(dāng)MP⊥AB時(shí)，d=

|0-4-2|

5

=

6 5

5

．
而|MA|=2

2

，|MB|=3．
∴|

a

+2

j

|的取值范圍是[

6 5

5

，3]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的幾何意義、兩點(diǎn)之間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．