Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+1在區(qū)間（-∞，-2]，[2，+∞）上單調遞增，在區(qū)間[-2，2]上單調遞減．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設0＜m≤2，若對任意的x₁、x₂∈[m-2，m]不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤16m恒成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在（-∞，-2]，[2，+∞）上單調遞增，在[-2，2]上單調遞減，得f′（x）=0有二實根x₁=-2，x₂=2；由根與系數(shù)關系得b與c的值；
（2）對任意的x₁、x₂∈[m-2，m]不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤16m恒成立，等價于在[m-2，m]上f（x）_max-f（x）_min≤16m，求出不等式的解集即得m取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx+1，∴f′（x）=3x²+2bx+c，
又∵f（x）在區(qū)間（-∞，-2]，[2，+∞）上單調遞增，在區(qū)間[-2，2]上單調遞減，
∴方程f′（x）=0有兩個實根x₁=-2，x₂=2；
由x₁+x₂=-

2b

3

=0，得b=0，x₁x₂=

c

3

=-4，得c=-12；
∴f（x）的解析式為f（x）=x³-12x+1．
（2）任意的x₁、x₂∈[m-2，m]不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤16m恒成立，
等價于在[m-2，m]上f（x）_max-f（x）_min≤16m，
∵f（x）在[-2，2]上為減函數(shù)，且0＜m≤2，
∴[m-2，m]?[-2，2]，∴f（x）在[m-2，m]上為減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（m-2）=（m-2）³-12（m-2）+1，
f（x）_min=f（m）=m³-12m+1；
∴f（x）_max-f（x）_min=-6m²+12m+16≤16m，
∴m≤-2，或m≥

4

3

；
又∵0＜m≤2，∴m的最小值為m_min=

4

3

．

點評：本題考查了利用導函數(shù)來研究函數(shù)的單調性，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題以及不等式恒成立問題，是較難的題目．