Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，PB=PC=$\sqrt{2}$，E是PB的中點，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2CD=2AD=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面PCD；
（Ⅱ）設F是線段CD上的點，若CF=$\frac{1}{3}$CD，求三棱錐F-PAB的體積．

Answer 1

分析 （I）取PC中點G，連結GD，GE，則可證明四邊形DAEG是平行四邊形，故而AE∥DG，得出AE∥平面PCD；
（II）取BC中點M，連PM，由面面垂直的性質得出PM⊥平面ABCD，即PM為棱錐P-ABF的高，底面三角形ABF的面積用梯形面積減去兩個直角三角形面積求出，于是${V_{F-PAB}}={V_{P-ABF}}=\frac{1}{3}{S_{△ABF}}•PM$．

解答 （Ⅰ）證明：取PC中點G，連結GD，GE．
∵E，G分別是PB，PC的中點，
∴GE∥BC，$GE=\frac{1}{2}BC$，∵AD∥BC，BC=2AD，
∴AD∥GE，AD=GE，
∴四邊形AEGD是平行四邊形，∴AE∥DG，
又∵AE?平面PCD，DG?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取BC中點M，連PM，F(xiàn)P，F(xiàn)A，
∵PB=PC，M是BC中點，
∴PM⊥BC，又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PM?平面PBC，
∴PM⊥平面ABCD，
在△PBC中，$PB=PC=\sqrt{2}$，BC=2，M是BC中點，∴PM=1．
在直角梯形ABCD中，DF=2FC，BC=2CD=2AD=2．
∴${S_{△ABF}}=\frac{1}{2}（AD+BC）•CD-\frac{1}{2}CF•BC-\frac{1}{2}DF•AD$=$\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2-\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×1=\frac{5}{6}$．
∴${V_{F-PAB}}={V_{P-ABF}}=\frac{1}{3}{S_{△ABF}}•PM$=$\frac{1}{3}×\frac{5}{6}×1=\frac{5}{18}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．