Question

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y²=4x與過點(diǎn)（m，0）的直線交于A、B兩點(diǎn)，若

OA

•

OB

=-3，則m的值為

1或3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意設(shè)直線的方程為：x=ty+m，并且設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），即可得到

OA

•

OB

=（1+t²）y₁•y₂+tm（y₁+y₂）+m²=-3，再聯(lián)立直線與拋物線的方程得到共有y的一元二次方程，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出m的數(shù)值．

解答：解：因?yàn)橹本�與拋物線y²=4x交于A、B兩點(diǎn)，
所以直線的斜率不等于0，
所以設(shè)直線的方程為：x=ty+m，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），
所以

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂ ），
所以

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂ ）=x₁•x₂+y₁•y₂=（1+t²）y₁•y₂+tm（y₁+y₂）+m²=-3，①
聯(lián)立直線與拋物線的方程

y2=4x x=ty+m

，
代入整理可得：y²-4ty-4m=0，
所以△=16（t²+m）＞0，y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4m，
所以代入①可得：m²-4m+3=0，
解得：m=1或者m=3，代入△可得符合題意．
故答案為：1或3．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并且借助于向量的數(shù)量積公式考查直線與拋物線的相交問題，解決此類問題的關(guān)鍵是求出y₁+y₂ 和y₁•y₂的值
（x₁+x₂ 和x₁•x₂的值），此題屬于中檔題，只要細(xì)心計(jì)算即可得到全分，此題考查學(xué)生分析問題與解決問題的能力．