Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≥0\\ 3x+1，x＜0\end{array}\right.$，則不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（　�。�

• A． （-3，0）
• B． （-$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，2）
• D． （-$\frac{1}{3}$，log₃2）

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，討論f（x）的符號(hào)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由3x+1=0得x=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)x＜-$\frac{1}{3}$時(shí)，3x+1＜0，則由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，
即3（3x+1）+1＜12x+4+1，
即9x+4＜12x+5，
得x＞-$\frac{1}{3}$，此時(shí)不等式無(wú)解，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=3^x≥1，
則由f（f（x））＜4f（x）+1得${3}^{{3}^{x}}$＜4•3^x+1，
設(shè)t=3^x，
則不等式等價(jià)為3^t＜4t+1，
設(shè)g（t）=3^t-4t-1，則g（0）=0，g（2）=9-8-1=0，
即g（t）＜0的解為0＜t＜2，即0＜3^x＜2，
得0≤x＜log₃2，
當(dāng)-$\frac{1}{3}$≤x＜0時(shí)，f（x）=3x+1≥0，
則f（f（x））=3^3x+1，
則由f（f（x））＜4f（x）+1得3^3x+1＜4（3x+1）+1，
設(shè)t=3x+1，則不等式等價(jià)為3^t＜4t+1，
設(shè)g（t）=3^t-4t-1，則g（0）=0，g（2）=9-8-1=0，
即g（t）＜0的解為0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，
即-1＜3x＜1，得-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$，
此時(shí)-$\frac{1}{3}$＜x＜0，
綜上所述，-$\frac{1}{3}$＜x＜log₃2．
即不等式的解集為（-$\frac{1}{3}$，log₃2），
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)性質(zhì)，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．