Question

已知B（-6，0）、C（6，0）是△ABC 的兩個頂點，內角A、B、C滿足sinB-sinC=

1

2

sinA，則頂點A的軌跡方程為

x2

9

-

y2

27

=1（x＜-3）

．

Answer 1

分析：△ABC中，利用正弦定理，將sinB-sinC=

1

2

sinA轉化為b-c=

1

2

a，再由雙曲線的概念即可求其軌跡方程．

解答：解：∵B（-6，0）、C（6，0）是△ABC 的兩個頂點，內角A、B、C滿足sinB-sinC=

1

2

sinA，
∴由正弦定理得b-c=

1

2

a，即|AC|-|AB|=

1

2

|BC|=6，
∴點A在以B（-6，0）、C（6，0）為焦點，即2c=12，c=6；實軸長為6，即2a=6，a=3的雙曲線的左支上，
∴b²=c²-a²=36-9=27．
又A、B、C構成三角形，故點C與A，B不共線，
∴頂點A的軌跡方程為：

x2

9

-

y2

27

=1（x＜-3）．
故答案為：

x2

9

-

y2

27

=1（x＜-3）．

點評：本題考查正弦定理，考查雙曲線的概念與標準方程，考查理解與運算能力，屬于中檔題．