Question

（在下列兩題中任選一題，若兩題都做，按第①題給分）
①若曲線（ρ∈R）與曲線為參數(shù)，a為常數(shù)，a＞0）有兩個交點A、B，且|AB|=2，則實數(shù)a的值為________．
②已知a²+2b²+3c²=6，若存在實數(shù)a，b，c，使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立，則實數(shù)x的取值范圍為________．

Answer 1

2    {x|-7＜x＜5}
分析：①曲線（ρ∈R）是過極點傾斜角為的射線，所在直線的方程是y=x，曲線為參數(shù)，a為常數(shù)，a＞0）是圓心為（a，0），半徑為的圓，由|AB|=2，得，由此能求出a．
②因為已知a、b、c是實數(shù)，且a²+2b²+3c²=6根據(jù)柯西不等式得到|a+2b+3c|≤6，a+2b+3c的最大值為6，a+2b+3c的最小值為-6．所以使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立的條件是|x+1|＜6，由此能求出x的范圍．
解答：①∵曲線（ρ∈R）是過極點（0，0）且傾斜角為的直線，
∴曲線C₁所在直線的方程是y=x，
∵曲線為參數(shù)，a為常數(shù)，a＞0）是圓心為（a，0），半徑為的圓，
∴由|AB|=2，得圓心（a，0）到曲線C₁y=x的距離d==1，
由點到直線的距離公式，得，
解得a=±2．
∵a＞0，
∴a=2．
故答案為：2．
②因為已知a、b、c是實數(shù)，且a²+2b²+3c²=6
根據(jù)柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+2b²+3c²）（1²++（ ）²）≥（a+2b+3c）²
故（a+2b+3c）²≤36，即|a+2b+3c|≤6，
即a+2b+3c的最大值為6，a+2b+3c的最小值為-6；
∴使得不等式a+2b+3c＞|x+1|成立的條件是|x+1|＜6，
解得{x|-7＜x＜5}．
故答案為：{x|-7＜x＜5}．
點評：第①題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線 的距離公式的靈活運(yùn)用．
第②題考查一般形式的柯西不等式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意含絕對值不等式的解法．