已知曲線C上任意一點到兩定點F1(-
3
，0)、F2(
3
，0)的距離之和是4，且曲線C的一條切線交x、y軸交于A、B兩點，則△AOB的面積的最小值為（　　）
分析：先求出曲線C的方程，可得橢圓上任意一點處的切線方程，從而可表示△AOB的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．
解答：解：∵曲線C上任意一點到兩定點F1(-
3
，0)、F2(
3
，0)的距離之和是4，
∴C的軌跡是以F1(-
3
，0)、F2(
3
，0)為焦點的橢圓，且2a=4，c=
3
，
∴a=2，b=1，
∴曲線C的方程為
x2
4
+y2=1，
不失一般性，設(shè)橢圓上第一象限點的坐標為（m，n），則由
x2
4
+y2=1，可得y=
1-
x2
4
，
∴y′=
-x
2
4-x2
，
∴x=m時，y′=
-m
2
4-m2
，
∴切線方程為y-n=
-m
2
4-m2
(x-m)，即y-n=
-m
4n
（x-m），即
mx
4
+ny=1，
令x=0，可得y=
1
n
，令y=0，可得x=
4
m

∴△AOB的面積為
1
2
|xy|=
2
|mn|
，
∵
m2
4
+n2=1≥2
m2
4
•n2
=|mn|，
∴|mn|≤1，當且僅當m=2n時取等號，
∴△AOB的面積為
2
|mn|
≥2，
∴△AOB的面積的最小值為2．
故選D．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，確定橢圓方程是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上任意一點M到點F（1，0）的距離比它到直線l：x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）斜率為1的直線l過點F，且與曲線C交與A、B兩點，求線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（2，2）的直線與曲線C交于A、B兩點，設(shè)
AP
=λ
PB
．當△AOB的面積為4
2
時（O為坐標原點），求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C上任意一點到點M（0，
1
2
）的距離與到直線y=-
1
2
的距離相等．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A1（x1，0），A2（x2，0）是x軸上的兩點（x1+x2≠0，x1x2≠0），過點A1，A2分別作x軸的垂線，與曲線C分別交于點A1′，A2′，直線A1′A2′與x軸交于點A3（x3，0），這樣就稱x1，x2確定了x3．同樣，可由x2，x3確定了x4．現(xiàn)已知x1=6，x2=2，求x4的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•松江區(qū)三模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點．已知曲線C上任意一點P（x，y）（其中x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1，直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若直線l經(jīng)過點F（1，0），求
OA
•
OB
的值；
（3）若
OA
•
OB
=-4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，O為坐標原點．已知曲線C上任意一點P（x，y）（其中x≥0）到定點F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的A，B兩點，求
OA
•
OB
的值；
（3）若曲線C上不同的兩點M、N滿足
OM
•
MN
=0，求|
ON
|的取值范圍．

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