Question

學(xué)校運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員5名，女運(yùn)動(dòng)員3名，其中男女隊(duì)長各1名．
（Ⅰ）8人站成一排，其中隊(duì)長不站在兩端，有多少種不同的站法？
（Ⅱ）要從8名運(yùn)動(dòng)員中，選派3人外出比賽，若男隊(duì)長因故不能參加、且必須有女運(yùn)動(dòng)員參加，有多少種不同的選派方法？

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題,計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：排列組合

分析：（Ⅰ）8人站成一排，其中隊(duì)長不站在兩端，先排隊(duì)長，再排其他，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．
（Ⅱ）可以利用直接法，分男隊(duì)長因故不能參加但必須有女運(yùn)動(dòng)員參加”包括以下幾種情況，1女2男，2女1男，3女2，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得；
可以利用間接法，先不考慮“必須有女運(yùn)動(dòng)員參加”的條件，從7人中任選3人，再排除全是男運(yùn)動(dòng)員的選法，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）先在中間的6個(gè)位置中選兩個(gè)，排上隊(duì)長，方法有

A

2 6

=30種；
其余的人任意排，方法數(shù)有

A

6 6

=7200種，
再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有30×7200=21600種不同的站法． 
（Ⅱ）法一：（直接法）：
“男隊(duì)長因故不能參加但必須有女運(yùn)動(dòng)員參加”包括以下幾種情況，
1女2男，共有

C

1 3

•

C

2 4

=18種不同的選派方法，
2女1男，共有

C

2 3

•

C

1 4

=12種不同的選派方法，
3女，共有

C

3 3

=10種不同的選派方法．
由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有18+12+1=31（種）選法
法二：（間接法），
不考慮“必須有女運(yùn)動(dòng)員參加”的條件，從7人中任選3人，有

C

3 7

種選法，
其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有

C

3 4

種選法，
故“男隊(duì)長因故不能參加但必須有女運(yùn)動(dòng)員參加”共有

C

3 7

-

C

3 4

=31（種）選法

點(diǎn)評(píng)：本題考查分步、分類計(jì)數(shù)原理，解題的過程中注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列