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13.如圖,在三棱錐S-ABC中,SC⊥平面ABC,點P、M分別是SC和SB的中點,設(shè)PM=AC=1,∠ACB=90°,直線AM與直線SC所成的角為60°.
(1)求證:PM⊥平面SAC;
(2)求二面角M-AB-C的平面角的余弦值.

分析 (1)三角形中位線定理得PM∥BC,推導(dǎo)出SC⊥BC,BC⊥AC,從而BC⊥平面SAC,由此能證明PM⊥平面SAC.
(2)以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CS為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角M-AB-C的平面角的余弦值.

解答 證明:(1)∵點P、M分別是SC和SB的中點
∴PM∥BC,
∵SC⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴SC⊥BC,
∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,
∵AC∩SC=C,∴BC⊥平面SAC,
∴PM⊥平面SAC.
解:(2)以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CS為z軸,建立空間直角坐標系,
∵PM=AC=1,∠ACB=90°,直線AM與直線SC所成的角為60°,
∴設(shè)AM=SC=2t,M(0,1,t),∴1+1+t2=2t,解得t=63,
∴A(1,0,0),B(0,2,0),M(0,1,63),
AB=(-1,2,0),AM=(-1,1,63),
設(shè)平面ABM的法向量n=(x,y,z),
{nAB=x+2y=0nAM=x+y+63z=0,取x=2,得n=(2,1,62),
平面ABC的法向量m=(0,0,1),
設(shè)二面角M-AB-C的平面角為θ,
cosθ=|mn||m||n|=624+1+32=3913
∴二面角M-AB-C的平面角的余弦值為3913

點評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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