（本小題滿分14分）
已知橢圓：上的一動點到右焦點的最短距離為，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 過點(，)的動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

解： (Ⅰ)設橢圓的焦距為，則由題設可知，解此方程組得
，.   所以橢圓C的方程是.     ………5分
(Ⅱ)解法一：假設存在點T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設其方程為，
將它代入橢圓方程，并整理，得     
設點A、B的坐標分別為，則    ……7分
因為及
所以

                          ……10分
當且僅當恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，
所以解得
此時以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）.                         ……12分
當直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為也過點T（0，1）.
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1），滿足條件.         ……14分
解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是
若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是      
由解得.
由此可知所求點T如果存在，只能是（0，1）.                      ……8分
事實上點T（0，1）就是所求的點. 證明如下：
當直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為，
過點T（0，1）；當直線l的斜率存在，設直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得
設點A、B的坐標為，則           ……11分
因為，

 
所以，即以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）.              ……13分
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件.           ……14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解析

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•廣東模擬）（本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)．
（I）化簡f（x）的表達式，并求f（x）的最小正周期；
（II）當x∈[0，
π
2
]  時，求函數(shù)f(x)的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）設橢圓C1的方程為(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。（1）試用a表示點P的坐標；（2）設A、B是橢圓C1的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；（3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011年江西省撫州市教研室高二上學期期末數(shù)學理卷（A） 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知=2，點（）在函數(shù)的圖像上，其中=.
(1)證明：數(shù)列}是等比數(shù)列；
（2）設，求及數(shù)列{}的通項公式；
（3）記，求數(shù)列{}的前n項和，并證明.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，第天()的銷售價格(單位：元)為，第天的銷售量為，已知該商品成本為每件25元.

（Ⅰ）寫出銷售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；

（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省高三下學期第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知的圖像在點處的切線與直線平行.

⑴ 求，滿足的關(guān)系式；

⑵ 若上恒成立，求的取值范圍；

⑶ 證明：（）

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案