已知曲線C1的參數(shù)方程是
x=2cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是ρ=2sinθ.
(1)寫出C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程;
(2)已知點M1、M2的極坐標分別為(1,
π
2
)
和(2,0),直線M1M2與曲線C2相交于P,Q兩點,射線OP與曲線C1相交于點A,射線OQ與曲線C1相交于點B,求
1
|OA|2
+
1
|OB|2
的值.
考點:參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程
專題:
分析:(1)利用cos2θ+sin2θ=1,即可曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程,進而利用
x=ρcosθ
y=ρsinθ
即可化為極坐標方程,同理可得曲線C2的直角坐標方程;
(2)由點M1、M2的極坐標可得直角坐標:M1(0,1),M2(2,0),可得直線M1M2的方程為
x
2
+y=1
,此直線經過圓心,可得線段PQ是圓x2+(y-1)2=1的一條直徑,可得得OA⊥OB,A,B是橢圓
x2
4
+y2=1
上的兩點,在極坐標下,設A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+
π
2
)
,代入橢圓的方程即可證明.
解答: 解:(1)曲線C1的普通方程為
x2
4
+y2=1
,
化成極坐標方程為
ρ2cos2θ
4
+ρ2sin2θ=1
,
曲線C2的極坐標方程是ρ=2sinθ,化為ρ2=2ρsinθ,
可得:曲線C2的直角坐標方程為x2+y2=2x,配方為x2+(y-1)2=1.
(2)由點M1、M2的極坐標分別為(1,
π
2
)
和(2,0),
可得直角坐標:M1(0,1),M2(2,0),
∴直線M1M2的方程為
x
2
+y=1
,化為x+2y-2=0,
∵此直線經過圓心(0,1),
∴線段PQ是圓x2+(y-1)2=1的一條直徑,
∴∠POQ=90°,
由OP⊥OQ得OA⊥OB,
A,B是橢圓
x2
4
+y2=1
上的兩點,
在極坐標下,設A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+
π
2
)
,
分別代入
ρ2cos2θ
4
+ρ2sin2θ=1
中,
ρ12cos2θ
4
+ρ12sin2θ=1
ρ22cos2(θ+
π
2
)
4
+ρ22sin2(θ+
π
2
)=1

1
ρ12
=
cos2θ
4
+sin2θ
,
1
ρ22
=
sin2θ
4
+cos2θ
,
1
ρ12
+
1
ρ22
=
5
4
,即
1
|OA|2
+
1
|OB|2
=
5
4
點評:本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、圓的性質,考查了推理能力與計算能力,考查數(shù)形結合思想和化歸與轉化思想,屬于難題.
練習冊系列答案
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2
3
3
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OA
OB
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i
、
j
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a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8,求點M(x、y)的軌跡C的方程.

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