Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）有公共的焦點F₁，F(xiàn)₂，P是兩曲線的一個交點．求證：
（1）|PF1|•|PF2|=a2-m2
（2）S_△F1PF2=bn
（3）tan

∠F1PF2

2

=

n

b

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)點P為橢圓和雙曲線的一個交點結合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．
（2）利用（1）中得出的結論，結合三角形面積公式即可證得．
（3）利用三角函數(shù)中正切的半角公式，結合前面得出的結論，即可證得．

解答：解：（1）不妨設P在雙曲線的右支上，左、右焦點F₁、F₂．利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2a   ①
|PF₁|-|PF₂|=2m    ②
由①②得：|PF₁|=a+m，|PF₂|=a-m．
∴|PF₁|•|PF₂|=a²-m²．
（2）如圖所示，因為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）有公共的焦點F₁、F₂，
所以有：a²-b²=m²+n²，
不妨設兩曲線的交點P位于雙曲線的右支上，設|PF₁|=p，|PF₂|=q．
由雙曲線和橢圓的定義可得 p+q=2a，p-q=2m，
解得 p²+q²=2（a²+m²），pq=a²-m²，
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=

p2+q2-4c2

2pq

=

b2-n2

2(a2-m2)

．
∴S_△F1PF2=

1

2

pqsin∠F₁PF₂=

1

2

×（a²-m²）×

1-cos2∠F1PF2

=bn．
（3）tan

∠F1PF2

2

=

1-cos∠F1PF2

sin∠F1PF2

=

1- b2-n2 2(a2-m2)

1-cos2∠F1PF2

=

1- b2-n2 2(a2-m2)

1-( b2-n2 2(a2-m2) )2

=

n

b

．

點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關鍵在于根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點F₁、F₂，及圓錐曲線的定義．屬于中檔題．