已知函數(shù)f(x)=
13
x3-2x2+ax(a∈R，x∈R)在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直．
（Ⅰ）求a的值和切線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線y=f（x）上任一點處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍．
分析：（1）由已知可得函數(shù)的導函數(shù)，即切線斜率的函數(shù)，因為在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，所以導函數(shù)只有一個實根，進而易得a的值與切線1的方程．
（2）因為在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，顯然切線斜率≥-1從而可以解出θ的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=
1
3
x2-2x2+ax，
∴f/（x）=x2-4x+a．（2分）
∵在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，
∴x2-4x+a=-1有且只有一個實數(shù)根．
∴△=16-4（a+1）=0，
∴a=3．（4分）
∴x=2，f(2)=
2
3
．
∴切線l：y-
2
3
=-(x-2)，即3x+3y-8=0．（7分）
（Ⅱ）∵f/（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1．（9分）
∴tanθ≥-1，（10分）
∵θ∈[0，π），
∴θ∈[0，
π
2
)∪[
3π
4
，π)（13分）
點評：本題考查了直線的點斜式方程及直線的傾斜角，是一道綜合題，應(yīng)注意運用導函數(shù)求解．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案