對(duì)于任意的（不超過數(shù)列的項(xiàng)數(shù)），若數(shù)列的前項(xiàng)和等于該數(shù)列的前項(xiàng)之積，則稱該數(shù)列為型數(shù)列。

（1）若數(shù)列是首項(xiàng)的型數(shù)列，求的值；

（2）證明：任何項(xiàng)數(shù)不小于3的遞增的正整數(shù)列都不是型數(shù)列；

（3）若數(shù)列是型數(shù)列，且試求與的遞推關(guān)系，并證明對(duì)恒成立。

 

【答案】

（1） （2）證明如下　（3），證明如下.

【解析】

試題分析：（1）新信息題的解答嚴(yán)格按照給的信息作答；（2)構(gòu)造任意一個(gè)遞增的正整數(shù)數(shù)列來解決；（3）按照型數(shù)列的定義來做.

試題解析:（1）由題意可得即所以又即２+２+＝４，所以＝

（2）設(shè)任意一個(gè)遞增的正整數(shù)數(shù)列若則由題意可得即該等式不成立，所以所以即因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122209474093554794/SYS201312220951253715415651_DA.files/image018.png">所以對(duì)一切的成立.

因此任何項(xiàng)數(shù)不小于3的遞增的正整數(shù)列都不是型數(shù)列；

 

（3）因?yàn)閿?shù)列是型數(shù)列，所以①.于是②.兩式相減，得③.則④.兩式相除，得整理，得因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122209474093554794/SYS201312220951253715415651_DA.files/image029.png">所以綜上所述，與的遞推關(guān)系為因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122209474093554794/SYS201312220951253715415651_DA.files/image033.png">所以當(dāng)時(shí)，若則所以對(duì)恒成立.

考點(diǎn)：1、新信息題中對(duì)信息的把握能力，2、數(shù)列的相關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于n∈N*（n≥2），定義一個(gè)如下數(shù)陣：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann
，其中對(duì)任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當(dāng)i能整除j時(shí)，aij=1；當(dāng)i不能整除j時(shí)，aij=0．設(shè)t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）當(dāng)n=6時(shí)，試寫出數(shù)陣A66并計(jì)算
6
j=1
t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，求證：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]；
（Ⅲ）若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)，g(n)=
∫
n
1
1
x
dx，求證：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•東城區(qū)一模）對(duì)于n∈N*（n≥2），定義一個(gè)如下數(shù)陣：Ann=
a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann

其中對(duì)任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當(dāng)i能整除j時(shí)，aij=1；當(dāng)i不能整除j時(shí)，aij=0．
（Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，試寫出數(shù)陣A44；
（Ⅱ）設(shè)t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，
求證：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[ 
n
i
 ]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆北京東城區(qū)模擬考試高三數(shù)學(xué)（一）（理科） 題型：解答題

對(duì)于，定義一個(gè)如下數(shù)陣：

其中對(duì)任意的，，當(dāng)能整除時(shí)，；當(dāng)不能整除時(shí)，．設(shè)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試寫出數(shù)陣并計(jì)算；
（Ⅱ）若表示不超過的最大整數(shù)，求證：；
（Ⅲ）若，，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年北京東城區(qū)模擬考試高三數(shù)學(xué)（一）（理科） 題型：解答題

對(duì)于，定義一個(gè)如下數(shù)陣：

其中對(duì)任意的，，當(dāng)能整除時(shí)，；當(dāng)不能整除時(shí)，．設(shè)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試寫出數(shù)陣并計(jì)算；

（Ⅱ）若表示不超過的最大整數(shù)，求證：；

（Ⅲ）若，，求證：．

 

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