Question

{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+n-1．
（1）求證{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）若存在二次函數(shù)f（x）=ax²（a≠0）使數(shù)列{

f(n)

anan+1

}的前n項(xiàng)和T_n=

2n2+2n

2n+1

，求f（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=

Sn

n

+n-1，可得Sn=nan-(n2-n)，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-1-[（n-1）²-（n-1）]，利用a_n=S_n-S_n-1，化為a_n-a_n-1=2，即可證明．
（2）

f(n)

anan+1

=

an2

(2n-1)(2n+1)

，當(dāng)n=1時(shí)，

f(1)

a1a2

=

a

3

=

2+2

3

，解得a=4．可得f（x）=4x²．驗(yàn)證即可．

解答： （1）證明：∵a_n=

Sn

n

+n-1，∴Sn=nan-(n2-n)，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）a_n-1-[（n-1）²-（n-1）]，
∴a_n=S_n-S_n-1=nan-(n2-n)-（n-1）a_n-1+[（n-1）²-（n-1）]，化為a_n-a_n-1=2，
因此{(lán)a_n}為等差數(shù)列，
其通項(xiàng)公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）解：

f(n)

anan+1

=

an2

(2n-1)(2n+1)

，
當(dāng)n=1時(shí)，

f(1)

a1a2

=

a

3

=

2+2

3

，解得a=4．
∴f（x）=4x²．
∴

f(n)

anan+1

=

4n2

(2n-1)(2n+1)

=

4n2-1+1

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{

f(n)

anan+1

}的前n項(xiàng)和T_n=n+

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=n+

1

2

(1-

1

2n+1

)
=n+

n

2n+1

=

2n2+2n

2n+1

．
滿足已知條件，
∴f（x）=4x²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．