Question

今年國慶節(jié)期間，上海世博會中國館和美國館異常火爆，10月1日中國館內(nèi)有2個(gè)廣東旅游團(tuán)和2個(gè)湖南旅游團(tuán)，美國館內(nèi)有2個(gè)廣東旅游團(tuán)和3個(gè)湖南旅游團(tuán)．現(xiàn)從中國館中的4個(gè)旅游團(tuán)選出其中一個(gè)旅游團(tuán)，與從美國館中的5個(gè)旅游團(tuán)中選出的其中一個(gè)旅游團(tuán)進(jìn)行互換．
（1）求互換后中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)的概率；
（2）求互換后中國館內(nèi)廣東旅游團(tuán)數(shù)的期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）令A(yù)={互換后中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)}，互換的都是廣東旅游團(tuán)時(shí)中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)事件A₁的概率P(A1)=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

．互換的都是湖南旅游團(tuán)時(shí)中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)事件A₂的概率P(A2)=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

，由此能求出互換后中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)的概率．
（Ⅱ）設(shè)互換后中國館內(nèi)廣東旅游團(tuán)數(shù)為ξ，則ξ的取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答： （本題滿分13分） 
解：（Ⅰ）令A(yù)={互換后中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)}，
①互換的都是廣東旅游團(tuán)，
則此時(shí)中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)事件A₁的概率P(A1)=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

．（2分）
②互換的都是湖南旅游團(tuán)，
則此時(shí)中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)事件A₂的概率P(A2)=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

．（4分）
又A=A₁+A₂，A₁，A₂互斥，
則 P(A)=P(A1)+P(A2)=

1

5

+

3

10

=

1

2

．（5分）
答：互換后中國館恰有2個(gè)廣東旅游團(tuán)的概率為

1

2

．（6分）
（Ⅱ）設(shè)互換后中國館內(nèi)廣東旅游團(tuán)數(shù)為ξ，則ξ的取值為1，2，3，（7分）
P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

，
P(ξ=2)=

1

2

，
P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

，
所以ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	3 10	1 2	1 5

所以Eξ=

3

10

×1+

1

2

×2+

1

5

×3=

19

10

．（12分）
答：互換后中國館內(nèi)廣東旅游團(tuán)數(shù)的期望

19

10

．（13分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．