Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+3x（a＞0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：f′（x）=3ax²-6x+3，其判別式△=36-36a=，討論判別式的符號，由二次函數(shù)性質可知f′（x）的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出恒函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

解答： 解：函數(shù)f（x）=ax³-3x²+3x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²-6x+3，其判別式△=36-36a=36（1-a），
當a≥1，∴△≤0，對任意實數(shù)，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間是R．
當a∈（0，1）時，△＞0，3ax²-6x+3=0，即ax²-2x+1=0，
解得：x=

2±2 1-a

2a

=

1± 1-a

a

，
x∈（-∞，

1- 1-a

a

）時f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
x∈（

1- 1-a

a

，

1+ 1-a

a

）時f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，
x∈（

1+ 1-a

a

，+∞）時f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)．
綜上：當a≥1時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是R．
當a∈（0，1）時，函數(shù)的增區(qū)間是：（-∞，

1- 1-a

a

），（

1+ 1-a

a

，+∞）．
單調(diào)減區(qū)間是：（

1- 1-a

a

，

1+ 1-a

a

）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的知識，考查分類討論思想，考查學生解決問題的能力．