Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（\sqrt{3}x）}{x}$
（1）求f（x）在[1，m]（m＞1）上的最小值；
（2）若關(guān)于x的不等式f²（x）-nf（x）＞0有且只有三個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）在閉區(qū)間上的最小值即可；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性，通過(guò)討論n的符號(hào)，解關(guān)于f（x）的不等式結(jié)合不等式解的個(gè)數(shù)，求出n的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-ln（\sqrt{3}x）}{{x}^{2}}$，令f′（x）＞0，得f（x）的遞增區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）；
令f′（x）＜0，得f（x）的遞減區(qū)間為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞），…（2分）
∵x∈[1，m]，則當(dāng)1≤m≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$e時(shí)，f（x）在[1，m]上為增函數(shù)，
f（x）的最小值為f（1）=$\frac{ln3}{2}$；
當(dāng)m＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$e時(shí)，f（x）在[1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）上為增函數(shù)，
在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，m]上為減函數(shù)，又f（3）=$\frac{ln3}{2}$=f（1），
∴若$\frac{\sqrt{3}}{3}$e＜m≤3，f（x）的最小值為f（1）=$\frac{ln3}{2}$，…（4分）
若m＞3，f（x）的最小值為f（m）=$\frac{ln（\sqrt{3}m）}{m}$，
綜上，當(dāng)1≤m≤3時(shí)，f（x）的最小值為f（1）=$\frac{ln3}{2}$；
當(dāng)m＞3，f（x）的最小值為f（m）=$\frac{ln（\sqrt{3}m）}{m}$…（6分）
（2）由（1）知，f（x）的遞增區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e），遞減區(qū)間為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞），
且在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞）上，ln$\sqrt{3}$x＞lne=1＞0，又x＞0，則f（x）＞0，又f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=0，
∴n＜0時(shí)，由不等式f²（x）-nf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜n，
而f（x）＞0的解集為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；…（8分）
n=0時(shí)，由不等式f²（x）-nf（x）＞0，得f（x）≠0，解集為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），
整數(shù)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，不合題意；…（10分）
n＞0時(shí)，由不等式f²（x）-nf（x）＞0，得f（x）＞n或f（x）＜0，
∵f（x）＜0的解集為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）無(wú)整數(shù)解，
若不等式f²（x）-nf（x）＞0有且只有三個(gè)整數(shù)解，
∵f（x）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$e）遞增，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$e，+∞）遞減，
而1＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$e＜2，f（1）=f（3），
所以，三個(gè)正整數(shù)為1，2，3，而f（4）=$\frac{ln4\sqrt{3}}{4}$，
綜上，實(shí)數(shù)n的取值范圍是[$\frac{ln4\sqrt{3}}{4}$，$\frac{ln3}{2}$）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．