已知圓C的方程為x2+y2-2x+ay+1=0,且圓心在直線2x-y-1=0.
(1)求圓C的標準方程.
(2)若P點坐標為(2,3),求圓C的過P點的切線方程.
分析:(1)將圓C方程化為標準方程,表示出圓心坐標,將圓心坐標代入直線2x-y-1=0中,求出a的值,即可確定出圓C的標準方程;
(2)判斷P在圓C外,顯然直線x=2滿足題意;當切線方程斜率存在時,設斜率為k,表示出此切線方程,由直線與圓相切時,圓心到切線的距離等于圓的半徑,利用點到直線的距離公式列出關于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出此時切線的方程,綜上,得到所有滿足題意的切線方程.
解答:解:(1)將圓C化為方程得:(x-1)2+(y+
a
2
2=
a2
4
,
∴圓心坐標為(1,-
a
2
),半徑r=
|a|
2
,
∵圓心在直線2x-y-1=0上,
∴2+
a
2
-1=0,
解得:a=-2,
則圓C標準方程為(x-1)2+(y-1)2=1;
(2)由P(2,3)在圓C外,顯然直線x=2為過P點的圓C切線方程;
當過P點的切線方程斜率存在,設斜率為k,
∴此切線方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
∴圓心到切線的距離d=r,即
|k-1+3-2k|
k2+12
=1,
解得:k=
3
4
,
此時切線方程為3x-4y+6=0,
綜上,滿足題意的切線方程為x=2或3x-4y+6=0.
點評:此題考查了直線與圓的位置關系,涉及的知識有:圓的標準方程,以及點到直線的距離公式,當直線與圓相切時,圓心到切線的距離等于圓的半徑,熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關鍵.
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x2
4
+
y2
12
=1
上經(jīng)過點(1,3)的切線方程為
x+y-4=0
x+y-4=0

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x2
a2
+
y2
b2
(a>b>0)
的右頂點和上頂點.
(1)求橢圓T的方程;
(2)是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩不同點,使得
OP
OQ
=
5
2
(O為坐標原點),若存在,求出直線l的方程,否則,說明理由.

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