Question

已知數(shù)列{a_n），其中a₂=6，=n
（1）求a₁、a₃、a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，其中b_n=（c為不為零的常數(shù)），若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求++…+．

Answer 1

【答案】分析：（1）在=n中，分別令n=2，3，4得出關(guān)于a₁、a₃、a₄；的方程計(jì)算求解即可．
（2）猜想a_n=n（2n-1），再用數(shù)學(xué)歸納法證明
（3）由（2）利用2b₂=b₁+b₃．求出c，繼而得出bn，Sn，再利用裂項(xiàng)求和法得出結(jié)果．
解答：解：（1）a₂=6，=1，=2，=3
得a₁=1，a₃=15，a₄=28
（2）猜想a_n=n（2n-1），下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時，由已知，顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時成立，即a_k=k（2k-1）
則當(dāng)n=k+1時，有=k．所以（k-1）a _k+1=（k+1）a _k-k（k+1），
a _k+1=（k+1）[2（k+1）-1]
即當(dāng)n=k+1時也成立．所以a_n=n（2n-1）成立
（3）因?yàn)閧b_n}為等差數(shù)列，所以2b₂=b₁+b₃．
∴，又a₁=1，a₂=6，a₃=15，
∴，∴==2n．
故S_n=b₁+b₂+…+b_n，=n（n+1）
++…+=[+…+]
=（1-）+（）+…+（）=1-=
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式，數(shù)列前n項(xiàng)和求解，考查數(shù)學(xué)歸納法的數(shù)學(xué)功用．考查推理論證，運(yùn)算求解能力與求和方法．．