Question

已知函數(shù)f（x）=1n（2-x）+ax在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若b＞1，求證：1n（b+2）+1nb（b+1）＞

1

b(b+1)

．

Answer 1

分析：（1）由已知得f′（x）=

1

x-2

+a≥0 在（0，1）內(nèi)恒成立，即a≥

1

x-2

在（0，1）內(nèi)恒成立，由此求得a的取值范圍．
（2）由題意可得 0＜

b-1

b

＜

b

b+1

＜1，再由f（x）=1n（2-x）+x在（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，則 f（

b-1

b

）＜f（

b

b+1

），化簡變形可得所證的結(jié)論．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=

1

x-2

+a≥0在（0，1）內(nèi)恒成立，即a≥-

1

x-2

在（0，1）內(nèi)恒成立．
而-

1

x-2

=

1

2-x

在（0，1）內(nèi)的最大值為1，∴a≥1．
（2）∵b＞1，∴0＜

b-1

b

＜

b

b+1

＜1，又由（1）得當(dāng)a=1時，
f（x）=1n（2-x）+x在（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，則 f（

b-1

b

）＜f（

b

b+1

），
∴l(xiāng)n （2-

b-1

b

）+

b-1

b

＜ln（2-

b

b+1

）+

b

b+1

，
即 ln

b+2

b+1

-ln

b+1

b

＞

b-1

b

-

b

b+1

，
∴l(xiāng)n（b+2）+lnb-2ln（b+1）＞

-1

b(b+1)

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．